Question

如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在X轴正半轴，边OC在Y轴正半周上）饶B逆时针旋转得到的。O

如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在X轴正半轴，边OC在Y轴正半周上）饶B逆时针旋转得到的。O’点在X轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）（1）如果二次函数Y=AX^2+BX+C（A≠0 ）的图象经过O，O’ 两点且图象顶点 M的纵坐标为 -1，求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 ，使得△ POM为直角三角形？若存在，请求出 P点的坐标和△ POM 的面积；若不存在，请说明理由；（3）求边 C’O’所在直线的解析式．

Answer 1

解：（1）连接BO，BO′则BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B（1，3）
∴O′（2，0），M（1，-1），
∴ {4a+2b+c=0
a+b+c=-1
c=0，
解得a=1，b=-2，c=0，
∴所求二次函数的解析式为y=x²-2x．
（2）设存在满足题设条件的点P（x，y）连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N则∠POM=90°
∵M（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°，
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P（x，y）在二次函数y=x²-2x的图象上
∴x=x²-2x
解得x=0或x=3
∵P（x，y）在对称轴的右支上
∴x＞1
∴x=3y=3即P（3，3）是所求的点．
连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形．O′为满足条件的点O′（2，0），
∴满足条件的点是P（2，0）或P（3，3），
∴OP=3√2，OM=√2
∴S△POM= 1/2OP•OM=3或S△POM= 1/2OM•OM′=1；
（3）设AB与C′O′的交点为D（1，y）
显然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
在Rt△ADO′中，AO′²+AD²=O′D²
即1+y²=（3-y）²
解得y= 43
∴D（1， 4/3），
设边C'O'所在直线的解析式为y=kx+b则 {k+b=4/3，2k+b=0，
解得k=- 4/3，b= 8/3，
∴所求直线解析式为y=- 4/3x+ 8/3．
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