Question

已知椭圆x2/2+y2=1的左焦点为F，O为原点，求以下问题

设过点F切不与坐标轴垂直的直线交椭圆与A、B两点线段AB的垂直平分线与X轴交于G，求点G横坐标的取值范围

Answer 1

解：该椭圆满足a^2=2,b^2=1,c^2=a^2-b^2=1
所以点F的坐标为(1,0)
不妨设直线AB的方程为y=k(x+1)
与椭圆方程联立，消去y，可得AB两点的横坐标，取平均值即为AB中点横坐标x1
x1=-2k^2/(2k^2+1)
代入y=k(x+1)得AB中点的纵坐标y1
y1=k/(2k^2+1)

下面写出AB的垂直平分线方程，斜率为-1/k，且过点( -2k^2/(2k^2+1)，k/(2k^2+1) )
写出点斜式方程：
y-k/(2k^2+1)=-1/k( x+2k^2/(2k^2+1) )
令y=0可得点G的横坐标x
x=-1/(2+1/k^2)
k^2的取值范围是[0,正无穷)
所以x的取值范围是(-1/2,0]
即G点横坐标的取值范围是(-1/2,0]