Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为AB边的中点，点E,F分别在AC,BC上且DE⊥DF。求证CE=BF

Answer 1

过点D做DM⊥AC DN⊥BC
DM=DN ∠MDN=90°
∠MDE+∠EDM=90°
∠NDF+∠EDM=90°
所以
∠MDE=∠NDF
在△MDE和△NDF
∠MDE=∠NDF
∠DME=∠DNF=90°
DM=DN
所以△MDE≌△NDF（ASA）
所以ME=NF
CE =MC-ME
BF =NB-NF
MC=NB
所以CE=BF

Answer 2

△ABC中，已知∠C=90°，∠B=45°，则∠A=45°，AC=BC，即△ABC是等腰直角三角形，又知AD=DB，连接CD，那么CD⊥AB，且CD=DB，∠ACD=90°/2=45°。
因为DE⊥DF，CD⊥DB，所以∠CDE=90°-∠CDF=∠BDF，于是△CDE≌△BDF（两角夹边对应相等)，立得CE=BF。