Question

在△ABC中，已知向量AM与AN分别是向量AB与AC方向上的单位向量，且满足AM×AN=1/2，（AM+AN）×BC=0

（1)试判断△ABC的形状
（2）若点P满足PA+PB+PC=BC，且│BC│=3，求│CP│ （只的都是向量，如PA+PB是向量PA+向量PB）

Answer 1

解：（1）由题意可知向量AM与AN的夹角为∠BAC
因为AM*AN=1/2，|AM|=|AN|=1
所以cos∠BAC＝AM*AN/(|AM|*|AN|)=1/2
得∠BAC＝60°
又（AM+AN）*BC=0
则(AB+AC)*BC=0
因为BC=AC-AB,所以：
(AB+AC)*(AC-AB)=0
即|AC|²-|AB|²=0
所以|AC|=|AB|
又∠BAC＝60°
所以△ABC是等边三角形

（2）因为PA+PB+PC=BC
所以PA+PB+PC=PC-PB
即PA=-2PB
所以向量PA与PB共线且方向相反
即点P在直线AB的反向延长线上
则PA=-2AB,PB=-AB
因为|AB|=|BC|=|AC|=3
所以|PA|=2|AB|=6
因为CP=AP-AC
所以|CP|²=(AP-AC)(AP-AC)
=|AP|²-2AP*AC+|AC|²
=36-2*6*3*cos60°+9
=36-18+9
=27
得|CP|=3√3

追问

第一小问中 给的条件是（向量AM+向量AN)×向量BC ，，，不是向量AB加向量AC

追答

呵呵，没看仔细啊，抱歉！！！结论一样，但推导过程就不一样了
因为向量AM与AB同向，向量AN与AC同向，所以存在实数m>0，n>0，分别使得：
AB=m*AM,AC=n*AN
BC=AC-AB=n*AN-m*AM
因为（AM+AN）×BC=0
所以(AM+AN)*(n*AN-m*AM)=0
即n+(n-m)AM*AN-m=0
因为AM*AN=1/2，所以
n+n/2 -m/2-m=0
解得m＝n
又|AB|=m*|AM|=m,|AC|=n*|AN|＝n
所以|AB|=|AC|
又∠BAC＝60°
所以△ABC是等边三角形