Question

如图延长△ABC各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D,E,F,得到DEF为等边三角形。

求证；（1）△AEF≌△CDE
（2）△ABC为等边三角形

Answer 1

证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．

Answer 2

证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量代换）．（1分）

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），

△DEF是等边三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），

∴∠BCA=60°（等量代换），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定） 

Answer 3

证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．（1分）
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（

Answer 4

证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．

Answer 5

1）证明：

∵BF=AC，AB=AE

∴AF=AB+BF=AE+AC=CE

∵AE=CD，FE=ED

∴△AEF全等于△CDE（S.S.S）

（2）证：∴∠FAE=∠ECD

∴∠BAC=∠BCA

∴AB=BC

∵△AEF全等于△CDE

∴∠CDE=∠FEA，∠DEC=∠EFA

又∵∠FED=∠FDE=60°

∠FDB=∠FDE-∠CDE

∠DEC=∠FED-∠FEA

∴∠FDB=∠DEC

又∵∠DEC=∠EFA

∴∠FDB=∠EFA

∴同理可证∠BFD=∠CDE

又∵FD=DE

∴△FBD全等于△DCE（A.S.A)

∴BF=CD

∵AB=CD，BF=AC

∴AB=AC

∵AB=BC

∴△ABC是等边三角形