Question

（三角形ABC中，D为BC中点，G为AD中点，过点G任意作意直线MN分别交AB，AC于MN，若向量AM=X向量AB，向量AN=

Y向量AC，问1/X+1/Y是否为定值，为什么？

Answer 1

证：

因为向量AM与向量AB是同向向量

所以x=|向量AM|/|向量AB|

=AM/AB（此处AM，AB为线段）

同理y=AN/NC （此处AN，NC也为线段）

所以1/x+1/y=(AB/AM )+(AC/AN)

问题转化为平面几何题

作BF∥MN交AC于F，作DE∥MN交AC于E

∵MN∥BF

∴AB/AM=AF/AN

∴1/x+1/y

=(AB/AM )+(AC/AN)

=(AF/AN)+(AC/AN)

=(AF+AC)/AN

∵AD是中线

∴BD=DC

∵BF∥DE

∴FE/EC=BD/CD=1

即 EF=EC

∴1/x+1/y

=(AF+AC)/AN

=[(AE-EF)+(AE+EC)]/AN

=2AE/AN

∵G是AD中点

∴AG=½AD

∵GN∥DE

∴AN/AE= AG/AD=1/2

即AE=2AN

∴1/x+1/y

=2AE/AN

=4AN/AN

=4

即1/x+1/y的值为定值

【希望对你有帮助】

【图在上传中请稍等】

Answer 2

4