Question

已知二次函数f(x)=x^2+bx+c(b≥0,c∈R).若f(x)的定义域为[-1,0]时，值域为[-1,0]，符合上述条件的函数是否

符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出f(x)的表达式，若不存在，请说明理由

Answer 1

f(x)=x²+bx+c=(x+b/2)²+c-b²/4
对称轴x=-b/2
b≥0 对称轴x=-b/2≤0
当b≥2时，-b/2≤-1，函数图象在对称轴右侧，函数单调递增。
x=-1时，有f(x)min=1-b+c=-1
x=0时，有f(x)max=c=0
解得b=2 c=0
此时函数解析式为f(x)=x²+2x
当0≤b≤2时，-1≤-b/2≤0
x=-b/2在定义域上
当x=-b/2时，有f(x)min=c-b²/4=-1
x=-1时，f(x)=1-b+c
x=1时，f(x)=1+b+c≥1-b+c
1+b+c=0，c=-b-1 代入c-b²/4=-1，整理，得
b(b+4)=0
b=0或b=-4(舍去)
c=-1
此时函数解析式为f(x)=x²-1
符合题意的函数是存在的，共有两个：f(x)=x²+2x和f(x)=x²-1

提示：没必要像一楼分这么多类讨论，要充分利用b≥0这个条件，分两类讨论就可以了。

Answer 2

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