Question

一道高中数学题（见问题补充）

如图，已知角A=60°，P、Q分别是角A的两边上的动点，设AP=X、AQ=Y。设角MAP=α，角MAQ=β(α、β为定值)，M在线段PQ上，且AM=2分之根号3，求x+y的最小值，并求取得最小值时x、y的值

Answer 1

S大三角形面积=S三角形PAM+S三角形MAQ 所以0.5XYsin60°=0.5乘以X乘以（2分之根号3）乘以sina+0.5乘以Y乘以（2分之根号3）乘以sinB 化简得XY=Xsina+Ysinb ,两边同除XY 再用均值不等式。得当X=Y=sina+sinb时，X+Y取得最小值=2(sina+sinb) 不好意思，有点瑕疵。

追问

思路有了，为什么算出来的答案跟你不一样。化简得XY=Xsina+Ysinb,两边同除XY，得1=sina/y+sinb/x，我用基本不等式（1的妙用）继续做，x+y的最小值是（√sina+√sinb）²，还有什么叫均值不等式

追答

恭喜你，你的回答正确。要用柯西不等式(后面介绍）。我的解答从“再用均值不等式”起有误。正解：因为1=（sina÷Y+sinb÷X） 再用柯西不等式
（sina÷Y+sinb÷X）×（X+Y)大于等于（√sina+√sinb）² 而（sina÷Y+sinb÷X）=1 所以
X+Y最小值为（√sina+√sinb）² 当且仅当X=√sinb,Y=√sina 时取等。 注柯西不等式（X÷A+Y÷B）×（A+B）大于等于（√X+√Y）²
证明注柯西不等式将前面展开再用均值不等式。均值不等式挺简单，是最基本内容。√{（a²+b²)÷2}大于等于
（a+b)÷2大于等于√ab大于等于2÷(1÷a+1÷b) 均值不等式与柯西不等式在高中数学运用非常广泛。祝你学习进步！

Answer 2

设角APM=r，则∠AQM=120-r
在三角形APM中 用正弦定理 用r表示x 同理表示y
从头到尾不用理会α，β ，因为他们是定值
x+y 只有r为变量 剩下的自己去解

追问

没解出来

Answer 3

我就把思路给你吧 电脑上实在不知道怎么写过程啊
60°-α=β，你就把β用α表示 再根据关于角的定理（具体是什么我忘了，我大2了），用α和哪个AM表示X、Y，就好啦