Question

已知函数f(x)=2x^3-9x^2+12x+a

已知函数f(x)=2x^3-9x^2+12x+a就a的取值范围讨论函数零点的个数

Answer 1

令2x^3-9x^2+12x+a=0即2x^3-9x^2+12x=-a
令g(x)=2x^3-9x^2+12x h(x)=-a
g'(x)=6x²-18x+12=6(x²-3x+2)
=6(x-1)(x-2)
令g'(x)<0得1<x<2这是减区间
令g'(x)>0提x<1或x>2这是增区间
x=1时取极大值g(1)=5
x=2时取极小值g(2)=4
在坐标系内作出g(x)的草图，注意两个极值点描好，且单凋性一定要符合，其它可不管
由图可知
当-a>5或-a<4 即a<-5或a>-4时 g(x)与h(x)只有一个交点，方程一个解
当-a=5或-a=4 即a=-5或a=-4时 g(x)与h(x)只有两个交点，方程两个解
当4<-a<5即-5<a<-4时 g(x)与h(x)只有三个交点，方程三个解

Answer 2

令f(x)'=6x²-18x+12=0 ,
解得：x=1时是函数极大值点，f(1)=5+a ； x=2时是函数极小值点，f(2)=4+a
所以，a<-5时函数有一个零点，a>-4时函数有三个零点，a=-5或a=-4时函数有两个零点.

Answer 3

先求导f¹(x)=6x²-18x＋12=6(x-1)(x-2)=0,极大值为f(1)=5＋a,极小值f(2)=4＋a,应该先根据图形分为5种(1)f(1)＜0(2)f(1)＝0(3)f(1)＞0f(2)＜0(4))f(1)＞0f(2)＝0(5))f(2)＞0,
综上求出（1）一个零点a的取值范围(-∞,－5)∪(-4,﹢∞)(2)2个零点a的取值范围{-5,-4}(3)3个零点a的取值范围(-5,-4)

Answer 4

画图，然后把a从-∞到+∞移动，看与图形的交点。
具体实现用求导求出极值点，并得到极值点构成的区间。