Question

已知函数f﹙x﹚＝2﹙x＋1﹚²㏑﹙x＋1﹚－ax²－2x。若x≥0时。f﹙x﹚≥0。求a的范围

Answer 1

由题意得f﹙0﹚=0，若要x≥0时f﹙x﹚≥0只需要f﹙x﹚为增函数即f﹙x﹚的导数≥0即可
f﹙x﹚的倒数f'(x)为4﹙x＋1﹚㏑﹙x＋1﹚+2x-2ax依然无法解决,注意到f'(0)=0那么继续求f''(x)得f''(x)=4㏑﹙x＋1﹚+6-2a；若在x≥0时f‘’（x)≥0则意味着在x≥0时f'(x)为增函数，若f'(x)为增函数又f'(0)=0则以为着在x≥0时f﹙x﹚也为增函数所以只要让f''(x)=4㏑﹙x＋1﹚+6-2a在x≥0时恒大于等于0原题意即可满足；解4㏑﹙x＋1﹚+6-2a≥0化为2㏑﹙x＋1﹚≥a-3只要在x≥0时左边的最小值大于右边即可X=0时左边最小所以又可化为0≥a-3得a≤3 毕

追问

怎么知道f﹙x﹚＝2﹙x＋1﹚²㏑﹙x＋1﹚－ax²－2x是单调函数

追答

你是说f(x)已知为单调函数？不是的，我们目的就是求一个a的范围使得f(x)在x≥0时为增函数，因为f(0)=0只要f(x)在x≥0时为增函数为就可以保证在x≥0时,f﹙x﹚≥f(0)=0恒成立

追问

要使f﹙x﹚≥f﹙0﹚。f﹙x﹚也可以是波动函数啊。

追答

不行的，你看题意他说是确定a的范围使“x≥0时，f﹙x﹚≥0”这里的意思是对于任意x大于等于0都必须有f(x)恒大于等于0 所以只有f(x)在x大于等于0下为增函数才可以满足

Answer 2

f(x)=2(x＋1)²ln(x＋1)－ax²－2x≥0
1、若x=0，则f(x)≥0恒成立；
2、当x≠0时，a≤[2(x＋1)²ln(x＋1)－2x]/(x²)，其中x>0，则只需要确定[2(x＋1)²ln(x＋1)－2x]/(x²)的最小值即可。
设g(x)=[2(x＋1)²ln(x＋1)－2x]/(x²)，利用导数求出g(x)在x>0时的最小值。。