Question

对于函数f(x)(x≠0)恒有f(ab)=f(a)+f(b),且x>1时f(x)>0,f(2)=1

(1)求f(4),f(1),f(-1)
(2)求证：f(x) 是偶函数
(3)求证：f(x)在(0，+∞)的增减性
(4)解不等式f(x²-5)＜2

Answer 1

1、f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(2)=f(2)+f(1) f(1)=0
f(1)=f(-1)+f(-1)=0 f(-1)=0

2、f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x) ∴f(x)中偶函数

3、设x1>x2>0 则x1/x2>1 f(x1/x2)>0
f(x1)=f(x1/x2)+f(x2)>f(x2)
因此是增函数

f(4)=2
f(x²-5)＜2
f(x²-5)<f(4)
|x²-5|<4 -4<x²-5<4
1<x²<9
-3<x<-1或 1<x<3

Answer 2

(1) f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2
f(2)=f(1)+f(2)
f(1)=0
f(2)=f(-1)+f(2)
f(-1)=0
(2)f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) f(x)是 偶函数
(3)假设x>0 a>1 => ax>x
f(ax)-f(x)=f(a)+f(x)-f(x)=f(a)
由题意知，x>1 f(x)>0
f(a)>0
f(x)在（0，+∞)增函数
（4）f(x)在(-∞,0)单调递减 （0，+∞)单调递增
f(4)=2
f(x²-5)<f(4)
-4<4x²-5<0 或者 0<x²-5<4
∴ 1/2<x<√5/2 或者 √5<x<3

Answer 3

1、f(4)=f(2)+f(2)=2
f(1)=f(2*1)-f(2)=f(2)-f(2)=0
f(-1)=f(1)-f(-1)=0
2、f(x)=f(-x)+f(-1)=f(-x)所以为偶函数
3、设0<x1<x2，
所以f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)，因为x1<x2，所以x2/x1>1
所以f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0所以f(x2)>f(x1)所以为增函数
4、f(x^2-5)＜2=f(4)得到f(4)-f(x^2-5)=f（4/（x^2-5））>0得到4/（x^2-5）>1
得到0<x^2-5<4,得到x在区间（-3，负根号5）和（根号5,3）之间