Question

1、当x趋近∞时，函数y=(x2-1)/(x2+3)趋近1，问|x|>X时， |y-1|<0.01？

说明一下：x的平方打不出来，所以x2就是x的平方，开图片吧
1、当x趋近∞时，函数y=(x2-1)/(x2+3)趋近1，问|x|>X时， |y-1|<0.01？
解答如下：|(x2-1)/(x2+3)-1|=4/(x2+3)<4/x2<ε
取ε=0.01，则X=
也就是说x>X时成立
我的问题是：从解题过程可以看到，该过程使用了放缩，也就是4/(x2+3)变大为4/x2那么我觉的它所得到的X应该是不妥的，因为如果不适用放缩法，可以得到一个很精确的范围，也即X是定值，但是放缩后得到的X应该是增大的啊(当然它也满足，但是它不是很精确啊)，我的想法对吗，我觉得这个解答有误。

2、在极限f(x) -->A（x-->x0）=A的定义中，为什么要限定|x-x0|>0，即x不等于x0 ，我想问的是把这个条件去掉行吗？说明理由

Answer 1

（1）当x趋近∞时，函数y=(x2-1)/(x2+3)趋近1 等价于 存在一个X，当x>X,有|y(x)-1|<ε(任意小的正数)；只要能找出这个X，我们就称y（x）是收敛的，且收敛于1，所以重点在找到这个X，不一定要精确，只要知道存在这个数就可以。
上面的解答4/(x2+3)<4/x2<ε，还能写成4/(x2+3)<4/x2<1/x2<ε,解出x=;题目的意思不是要求出精确的X，只要大于那个不缩放之前求出的精确值，答案就算正确；当然你也可以求出那个精确的值，写出x的精确的取值范围。。。
（2）不能去的，这就是极限的定义，很微妙的定义，如果去掉，就说明x能够取值到x0;且F（x0）=A;这个定义就包括了这层意思：x0极限值等于x0这点的值，在数学分析里，连续函数的定义为如果x0点极限值等于x0的函数值，认为函数在x0点连续。有好多函数在某些点不连续的，极限值不等于该点的函数值，比如1/x,在x=0时，右极限等于负无穷，左极限等于无穷，但函数本身在x=0点没有定义。极限不等于函数值，在这一点就不连续。一点的极限值和函数值是两个概念，所以定义不能大于等于0，不然就默认了二者相等了。

Answer 2

1，这里的放缩法其实仅仅是为了求算x的值时方便一点，并没有实际的什么作用，所以你用也可以，不用也可以，无关紧要。
2，这样写的目的仅仅是为了强调说明x0在或不在定义域内对函数的极限没有影响，而且极限本来就是一种无限趋近的思想，其本身就是说明了x≠x0，而仅仅是趋近而已。所以不能去掉。

追问

1、你说用也可以，不用也可以，但是两个求出来的X值不一样啊
2、就算加上x=x0好像也没有什么影响啊

追答

1，两个值不一样无所谓的啊，你说解出来x>10，那我取x=11，x=12都是对的啊，有什么不行的？只要是大于那个范围就行了啊
2，这个不是有没有影响的问题，是极限的定义的问题！说了是趋近，就不能取到x0这个点，只能趋近！

Answer 3

1：同意你的看法，原解相当于精确解的子集。
2：不可以去掉。定义的中的限定保证了极限的定义的全面性和严谨性：即x在x0处有没有定义和f(x)有没有极限无关。即某一点的极限和在这一点的函数值存不存在无关。如果去掉这个限定，当x在x0处无定义时，|f(x)-A|<ε在x=x0处对于任何的ε都不成立，所以也就根本找不到满足|x-x0|<δ的δ。换句话，因为f(x0)根本不存在，|f(x0)-A|<ε本身无意义，所以永远找不到满足|f(x0)-A|<ε的δ。另外一种典型的例子是，当x在x0处有定义，但是函数是在x0处跳跃的函数，设定f(x0)=B,limf(x)=A;则|f(x0)-A|=|B-A|<ε不成立，也无法找到δ，与limf(x)=A矛盾。为了避免这两类问题，必须设定|x-x0|>0。

Answer 4

晕