Question

求解高中函数集合题

已知集合{1,2,3……100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集，若n∈A时，总有2n+2∈B ,则集合A∪B的元素个数最多是？

Answer 1

最多66个

若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时A∪B已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于A∩B＝∅，∴4,6,8∉A，此时A∪B中将增加14个元素，∴A∪B中元素个数最多有52＋14＝66个

先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈A.证明如下：

　　将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个.由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈A.

　　如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，

B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66.

以上是标准解答。

关于这题的思路可以这样想：
A中元素≤49
(1,4,10,22,46) 取3弃2
(2,6,14,30)
(3,8,18,38) 取2弃2
(5,12,26)
……
(9,20,42） 取2弃1
(11,24)
……
(23,48) 取1弃1
共弃2+2*2+1*3+1*7=16
∴|A|=49-16=33

Answer 2

经分析最多时候A={1,2,3,5,7,9...49}，B={4,6,8...50,52,54,56...100}，所以A并B最多有75个元素。

Answer 3

有题意可知：
A={1,2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,23,25,26,27,29,31,33,34,35,37,39,41,42,43,45,46,47,49,}
B={4,6,8,12,16,20,22,24,28,30,32,36,38,40,44,48,52,54,56,60,64,68,70,72,76,80,84,86,88,92,94,96,100}
所以A∩B=66个元素