Question

已知a+b+c=3，1/a+1/b+1/c=1/3，证明a，b，c，这三个数一定有一个数是3

Answer 1

证明：1/a+1/b+1/c=1/3,
abc=3(ab+bc+ca),3ab+c(3a+3b-ab)，将c=3-a-b代入，得到
3ab+(3-a-b)(3a+3b-ab)=0
3ab+9(a+b)-3ab-3(a+b)^2+ab(a+b)=0
(a+b)(9-3a-3b+ab)=0
(a-3)(b-3)(a+b)=0
因此a=3,或b=3或a=-b(即c=3)
a，b，c，这三个数一定有一个数是3，得证。

Answer 2

1/a+1/b+1/c=1/3
(ab+bc+ac)/abc=1/3
等式两边分别乘以 a+b+c=3
(ab+bc+ac)（a+b+c)/abc=3*1/3=1
(a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b+3abc)/abc=1
(a+b)(b+c)(a+c)/abc+abc/abc=1
(a+b)(b+c)(a+c)/abc=0
因此有a+b==0 或者b+c=0 或者a+c=0
因a+b+c=3，所以a，b，c，这三个数一定有一个数是3