Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，角ADC=60度且ABCD为菱形。

求二面角P-AD-C的正切值。

Answer 1

因为PA⊥AB，PE⊥CD，所以∠APE即所求的二面角
设CD=2a，则PE=（根号3）a ,AE=（根号3）a
因为面PCD⊥面ABCD，所以PE⊥面ABCD，所以∠APE=45°
所以tan∠APE=tan45°=1即为所求

追问

是P-AD-C的正求切值。∠APE不应是所求的二面角吧。

追答

对不起，我刚刚是回答另一个问题。
用坐标法可以吗？
作PO⊥AB于O，连结OC
∵角ADC=60度且ABCD为菱形
∴OC⊥AB
又∵侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直
∴分别以OC、OA、OP作x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
∵侧面PDC是边长为2的正三角形
∴CD=（0,2,0）AD=（√3,1,0）PA=（0,1,-√3）
设面PAD、面ACD的法向量分别为n1=(x,y,z)，n2=(0,0,1)
n1⊥PA=>n1*PA=y-√3z=0
n1⊥AD=>n1*AD=√3x+y=0
∴令n1=（-√3,3,√3）
cos=n1*n2/( l n1 l l n2 l )=√3/√(3+3+9)=1/√5
l sin l =√(1-cos)=2/√5
∴tanα= l sin l /cos=2 即为所求

追问

做的不错，可是现在的高中生能想的通吗？

追答

嗯?神马意思？我就是刚刚高中毕业的啊！坐标法高中生肯定可以明白啊！
这也算是追问？干嘛不采纳俺？

Answer 2

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD为菱形．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求异面直线PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AD-C的正切值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：（1）取CD中点O，连OA、OP，根据面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，证明PA⊥CD．
（2）先找出线线角∠PBC是PB和AD所成的角，进而可求；
（3）先找出二面角的平面角：由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，进而可求．解答：解：（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．
（2）显然∠PBC是PB和AD所成的角，其余弦值为104．
（3）由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，
Rt△PGO中，tan∠PGO=
POGO=2，
即二面角P-AD-C的正切值为2．