求数学高手解剩余定理

有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?... 有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?
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elusory008
2007-07-01 · TA获得超过2.6万个赞
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5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 ……
这些公倍数中,被7除余1的数是 225

9 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252……
这其中,被5除余2的是 252

5 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、……
其中被9除余5的数是 140

把以上 225 252 140 三个数相加,求得
225 + 252 + 140 = 617

5 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315

617-315 = 302

因此 302 就是这个年级至少人数。

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关于剩余定理:

韩信点兵

作者:jianhao

汉高祖刘邦曾问大将韩信:“你看我能带多少兵?”韩信斜了刘邦一眼说:“你顶多能带十万兵吧!”汉高祖心中有三分不悦,心想:你竟敢小看我!“那你呢?”韩信傲气十足地说:“我呀,当然是多多益善啰!”刘邦心中又添了三分不高兴,勉强说:“将军如此大才,我很佩服。现在,我有一个小小的问题向将军请教,凭将军的大才,答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说:“可以可以。”刘邦狡黠地一笑,传令叫来一小队士兵隔墙站队,刘邦发令:“每三人站成一排。”队站好后,小队长进来报告:“最后一排只有二人。”“刘邦又传令:“每五人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有三人。”刘邦再传令:“每七人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信:“敢问将军,这队士兵有多少人?”韩信脱口而出:“二十三人。”刘邦大惊,心中的不快已增至十分,心想:“此人本事太大,我得想法找个岔子把他杀掉,免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句,并问:“你是怎样算的?”韩信说:“臣幼得黄石公传授《孙子算经》,这孙子乃鬼谷子的弟子,算经中载有此题之算法,口诀是:

三人同行七十稀,

五树梅花开一枝,

七子团圆正月半,

除百零五便得知。”

刘邦出的这道题,可用现代语言这样表述:

“一个正整数,被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过100,求这个数。”

《孙子算经》中给出这类问题的解法:“三三数之剩二,则置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五,一百六以上,以一百五减之,即得。”用现代语言说明这个解法就是:

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70,被3与7整除而被5除余1的数21,被3与5整除而被7除余1的数15。

所求数被3除余2,则取数70×2=140,140是被5与7整除而被3除余2的数。

所求数被5除余3,则取数21×3=63,63是被3与7整除而被5除余3的数。

所求数被7除余2,则取数15×2=30,30是被3与5整除而被7除余2的数。

又,140+63+30=233,由于63与30都能被3整除,故233与140这两数被3除的余数相同,都是余2,同理233与63这两数被5除的余数相同,都是3,233与30被7除的余数相同,都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

而3、5、7的最小公倍数是105,故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变,从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数,这意味着人数不超过100,所以用233减去105的2倍得23即是所求。

这个算法在我国有许多名称,如“韩信点兵”,“鬼谷算”,“隔墙算”,“剪管术”,“神奇妙算”等等,题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作,比刘邦生活的年代要晚近五百年,算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》,诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广,并把解法称之为“大衍求一术”,这个解法传到西方后,被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信,则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。

请你试一试,用刚才的方法解下面这题:

一个数在200与400之间,它被3除余2,被7除余3,被8除余5,求该数。

(解:112×2+120×3+105×5+168k,取k=-5得该数为269。)
匿名用户
2007-07-12
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楼上回答的前半部分 是原创回答。后半部分虽然不是原创,但那些已经成为了网络的 共享资源了。
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