Question

已知a属于R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x 若函数f(x)在(-1,1)上单调递增，求a的取值范围 麻烦啦！！

Answer 1

解：f(x)=(-x^2+ax)e^x
对函数求导f(x)'=(-x^2+ax)e^x+(-2x+a)e^x
=(-x^2+(a-2)x+a)e^x
函数f(x)在(-1,1)上单调递增
所以(-x^2+(a-2)x+a)e^x＞0
又e^x恒大于0，
因此不等式转化为-x^2+(a-2)x+a＞0
因为函数y=-x^2+(a-2)x+a开口向下,
所以要使其在（-1,1）上恒大于0 ，
有y(1)=-1+a-2+a≥0
y(-1)=-1-a+2+a=1＞0
解得a≥3/2
综上所述，a的取值范围为[3/2,+∞）

Answer 2

∵函数f(x)在(-1，1)上单调递增，
∴导函数f′(x)≥0在(-1，1)上恒成立，
即(-x²+ax-2x+a)e^x≥0在(-1，1)上恒成立，
∴对任意x∈(-1，1)，总有-x²+ax-2x+a≥0，
x²+2x≤(x+1)a，a≥(x²+2x)/(x+1)，
设函数g(x)= (x²+2x)/(x+1)，x∈(-1，1)，
则g(x)= (x²+2x+1-1)/(x+1)=（x+1）-1/(x+1)，
易知，函数g(x)在(-1，1)上为增函数，
∴对任意x∈(-1，1)，g(x)<g(1)=3/2，
∴要使a≥g(x)恒成立，
则有a≥3/2，
即a的取值范围是[3/2，+∞﹚.