Question

在数列an中，a1=2,an+1=an+In(1+1/n),则an=?

Answer 1

a(n+1)=an+ln(1+1/n)=an+ln[(n+1)/n]=an+ln(n+1)-lnn
a(n+1)-an=ln(n+1)-lnn
an-a(n-1)=lnn-ln(n-1)
……
a3-a2=ln3-ln2
a2-a1=ln2-ln1=ln2
连加，有：
an-a1=lnn
an=lnn+a1=2+lnn (n>=2)
n=1也适合
an=2+lnn

Answer 2

a(n+1)=an+In(1+1/n)=an+ln[(n+1)/n]=an+ln(n+1)-ln(n)
则a(n+1)-ln(n+1)=an-ln(n)
即对于任意n，an-ln(n)值相等
an-ln(n)=a1-ln1=a1=2
an=ln(n)+2

Answer 3

a(n+1)-an=ln[(n+1)/n]
所以
an-a(n-1)=ln[n/(n-1)]
a(n-1)-a(n-2)=ln[(n-1)/(n-2)]
……
a2-a1=ln(2/1)
相加
an-a1=ln[n/(n-1)]+ln[(n-1)/(n-2)]+ln(2/1)
=ln[n/(n-1)*(n-1)/(n-2)*……*2/1]
=lnn
所以an=2+lnn