Question

矩形ABCD中，对角线BD,AC交于O点，自A点作AE垂直BO于E，且BE比ED=1比3，过点O作OF垂直AD于F，OF=2cm，求BD

的长。求详细解题过程，谢谢

Answer 1

AC交BD于O,则BO=OD,
设BD=4a,则OD=BO=2a,
因为BE:ED=1:3则BE=a,
所以EO=BO-OE=2a-a=a,所以BE=OE.
又有AE⊥BD,所以AO=AB,
因为OF⊥AD,BO=BD,易得AB=2OF=4,所以AO=AB=4
所以AC=2AO=8,
所以BD=AC=8

Answer 2

因为在矩形ABCD中对角线BD=AC，且BD=2BO
所以△DFO与△DAB相似比为1:2，
OF=2cm=1/2AB
所以AB=4cm
又根据射影定理，AB^2=BE*BD,BE=1/4BD
所以16=1/4BD^2
BD=8cm

Answer 3

因为AC交BD于O,则BO=OD,设BD=4x,则OD=BO=2x,因为BE:ED=1:3则BE=x,所以EO=BO-OE=x,所以BE=OE.
又因为AE⊥BD,所以AO=AB,
因为OF⊥AD,BO=BD,所以AB=2OF=4,所以AO=AB=4 cm
所以AC=2AO=8cm,
所以BD=AC=8cm