Question

已知数列{an}的前几项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。

（1）求a1和a2的值 (2)求数列{an}，{bn}的通项an和bn (3)设Cn=an乘bn,求数列{Cn}的前N项和Tn.

Answer 1

2a1=S1+2=a1+2
a1=2
2a2=S2+2=a1+a2+2
a2=4

an是Sn与2的等差中项
2an=Sn+2
2a(n-1)=S(n-1)+2
两式相减
2an-2a(n-1)=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an=2^(n-1)a1=2^n
点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上
→b(n+1)=bn+2
→bn= b1+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1

cn=an乘bn 差比数列 错位相减
错位 Tn=1*2+3*2^2+5*2^3+……+（2n-1）*2^n
2Tn= 1*2^2+3*2^3+5*2^4+……+（2n-1）*2^(n+1)
相减 -Tn=1*2+(2*2^2+2*2^3+……+2*2^n)-(2n-1）*2^(n+1)
Tn=(2n-1）*2^(n+1)-2^(n+2)+6=(2n-3）*2^(n+1)+6.

Answer 2

(1) an是Sn与2的等差中项

n=1 a1=2

n=2 a2=4

(2) 2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2 an=2a(n-1)

｛an｝是以2为首项2为公比的等比数列an=2^n

点p(bn,b(n+1))在直线x-y+2=0上 b(n+1)=bn+2

｛bn}是以1为首项2为公差的等差数列bn=2n-1

（3） cn=an乘bn 差比数列 错位相减

错位 Tn=1*2+3*2^2+5*2^3+……+（2n-1）*2^n

2Tn= 1*2^2+3*2^3+5*2^4+……+（2n-1）*2^(n+1)

相减 -Tn=1*2+(2*2^2+2*2^3+……+2*2^n)-(2n-1）*2^(n+1)

Tn=(2n-1）*2^(n+1)-2^(n+2)+6

Answer 3

b(n+1)=bn+2
→bn= b1+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1

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