Question

三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，若二面角S-BC-A的大小为45°，SA=B

三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，若二面角S-BC-A的大小为45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小

Answer 1

1证:∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC
∵平面SAB⊥平面SBC,交线为SB,AH在面SB内,AH⊥面SBC
∴AH⊥面SBC(这是面面垂直的性质定理,一定要用好,会表述)
∴AH⊥BC,又BC⊥SA,SA与AH相交于A,且都在面SAB内,
∴BC⊥面SAB
∴AB⊥BC

2解:连EH
由1,知AH⊥面SBC,故AH⊥SC
∵AE⊥SC
∴SC⊥面AEH,故SC⊥EH
∴∠AEH为二面角A-SC-B的平面角(先作及证二面角的平面角)
由1可知,BC⊥SB,BC⊥AB,
∴∠ABS为二面角S-BC-A的平面角,即∠ABS=45°(利用给出的二面角)
由已知,设SA=BC=a,则AB=a
于是可得AC=√2a,SC=√3a,由面积可算得AE=√6a/3
在RT△SAB中,易得AH=√2a/2
在RT△AEH中,sin∠AEH=AH/AE=(√2a/2)/√6a/3=√3/2
故∠AEH=60°(算出所求平面角)
故所求二面角的大小为60°

追问

E是什么？？？

追答

作AE⊥SC于E,连结EH

Answer 2

过B作BD垂直SC于D，过B作BE垂直AC于E，连接DE
因SA垂直面ABC，则SA垂直BE，又BE垂直AC，则BE垂直面SAB，则BE垂直DE，BE垂直SC
又BD垂直SC，则SC垂直面BDE，则SC垂直DE，则角BDE即为所求二面角
因SA垂直面ABC，则面SAB垂直面ABC
又面SAB垂直面SBC，BC为面SBC与面ABC的交线
所以BC垂直SAB，则BC垂直AB，BC垂直SB
角SBC即为S-BC-A的二面角，则角SBC=45度
则SA=AB=SB*根2/2,AB/SB=1/根2
又SA=BC，则AB=BC,BC/SB=1/根2,SC/BC=根(根2^+1^)/1=根3
因BE垂直AC，AB垂直BC
则BE/AB=1/根2
因BD垂直AC,SB垂直BC，则SB/BD=SC/BC=根3
因BE垂直DE
则sin角BDE=BE/BD=(BE/AB)(AB/SB)(SB/BD)=(1/根2)(1/根2)(根3)=（根3)/2
所以角BDE=60度
所以二面角A-SC-B的大小为60度