Question

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,它与椭圆x^/2+y^=1相交于A,B两点,求PA*PB的取值范

求过程答案

Answer 1

直线方程设为y=k(x-2)+1

x²/2+[kx-(2K-1)]²=1

(1/2+K²)X²-2k(2K-1)X+4K²-4K=0

首先Δ=4k²(2k-1)²-(2+4K²)(4k²-4k)=-4k²+8k>0

0<k<2

X1+X2=2k(2K-1)/(1/2+K²)=(8K²-4K)/(1+2K²)

X1X2=(4K²+4K)/(1/2+K²)=(8k²-8k)/(1+2K²)

过A,B作AM,BN垂直于准线(P点就在准线上的)

AM=2-x1

BN=2-X2

PA=AM/cosα=(2-x1)/cosα

PB=BN/cosα=(2-x2)/cosα

其中(2-x1)(2-x2)=[4+x1x2-2(x1+x2)]=4/(1+2k²)

k=tanα=sinα/cosα 带入其中

所以PA*PB=4/[(1+2sin²α/cos²α)cos²α]

=4/(cos²α+2sin²α)=4/(1+sin²α)

=8/(3-cos2α)

k∈(0,2)

cos2α=(1-k²)/(1+k²)(万能公式)

=-1+2/(1+k²)∈(-3/5,1)

所以8/(3-cos2α)∈(20/9,4)

所以20/9<PA*PB<4

Answer 2

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α，可设直线的参数方程为x=2+tcosα， y=1+tsinα
椭圆方程化为 x²＋2y²－2＝0
把参数方程代入椭圆方程整理得（cos²α＋2sin²α)t²＋（4sinα＋4cosα)t+4=0
上列关于t的方程的两根t1,t2就是PA和PB
∴有根和系数的关系得
PA*PB=t1*t2＝4/(（cos²α＋2sin²α)=4/(（1-sinα²α＋2sin²α)＝4/(sin²α＋1)
∵0≤sin²α≤1
∴1≤sin²α＋1≤2
∴1/2≤1/sin²α≤1
即1/2≤PA*PB≤1
请复核数字计算

Answer 3

PA是向量还是长度啊？

追问

长度

追答

大概如下，自己再算算吧