Question

已知椭圆x^2/3+y^2=1与直线y=kx+m交于不同两点M,N点A(0,-1)，当AM=AN时

求m取值范围

Answer 1

解：
椭圆与x轴、y轴分别交于A(0,-1)
∵L与椭圆相交的两点到A的距离相等
∴此两点所构成的线段的垂直平分线过A点
联立y=kx+b和x²+3y²=3
则3=x²+3(kx+b)²=(1+3k²)x²+6kbx+3b²，即(1+3k²)x²+6kbx+3(b²-1)=0
设两交点分别为(x1,y1),(x2,y2)
则x1+x2=-6kb/(1+3k²)，x1x2=3(b²-1)/(1+3k²)
则y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b=-6k²b/(1+3k²)+2b=2b/(1+3k²)
∵存在2个交点
∴判别式△=36k²b²-12b²-36k²b²+12+36k²=36k²-12b²+12>0
∴3m²-b²+1>0
两交点的中点坐标为(-3kb/(1+3m²),b/(1+3m²))
∵垂直平分线垂直与L，∴斜率为-1/m
又∵垂直平分线过A点，∴方程为y-(-1)=-1/m×(x-0)，即y=-(1/m)x-1
又∵中点在垂直平分线上
∴b/(1+3m²)=-(1/m)[-3kb/(1+3m²)]-1
整理得：3m²-2b+1=0
∴b=(3m²+1)/2
代入判别式的结论3m²-b²+1>0
得：3m²-(3m²+1)²/4+1>0，即3m⁴-2k²-1<0，即(m²-1)(3m²+1)<0
∵3m²+1>0
∴m²-1<0
即-1<m<1
不懂请追问，满意请给好评。

追问

答案是m∈[1/2，1）........

追答

计算错误：改正！
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点Q(x0,y0)，则有x1²+3y1²=3，x2²+3y2²=3。相减得：(x2-x1)(x2+x1)+3(y2-y1)(y2+y1)=0。但x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,(y2-y1)/(x2-x1)=k，代入④得x0+3ky0=0。因为AM=AN，所以AQ⊥MN，所以(y0+1)/x0=-1/k,即x0+ky0+k=0。联立解得：Q(-3k/2,1/2)代入y=kx+m得：1/2=-3k²/2+mm=(3k²+1)/2。因为Q在椭圆面区域内部，所以(-3k/2)²+(1/2)²<1,即 0≤3k²<1所以1/2≤(3k²+1)/2<1即m∈[1/2，1）

追问

这个我也百度到了，有一个不明白。Q在椭圆内部不应该把q带到x^2/3+y^2小于1里面去吗？为啥是(-3k/2)²+(1/2)²<1

追答

在椭圆上方程成立，在椭圆外左边>1,在里边左边<1

追问

那不应该是(-3k/2)²/3+(1/2)²<1吗。。他的/3哪去了

追答

你再仔细看解答过程

追问

我理解错了吗？不应该把q带到(-3k/2)²/3+(1/2)²<1吗？

追答

那就是答案错了

我再算算。。。

不知对不对？