Question

二次函数f(x)=ax2+bx+c的一个零点是-1，且满足【f(x)-x】*【f（x）-(x2+1)/2】<=0恒成立。

求：
（1）f(1)的值
（2）f(x)的解析式

Answer 1

a-b+c=0
[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]<=0恒成立
f(x)=ax^2+bx+c代入化简得0<a<1/2
（a-c)^2<=-(2a+2c-1)且（a-c)^2<=(2a+2c-1)恒成立，所以
（a-c)^2=2a+2c-1=0
a=c,4a-1=0
a=c=1/4,b=1/2
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4
f(1)=1

追问

f(x)=ax^2+bx+c代入化简得0<a<1/2怎么得的？
第二问呢

追答

比较x和（x^+1)/2
(x^+1)/2 -x=(x-1)^/2>=0
所以【f(x)-x】*【f（x）-(x2+1)/2】≤0恒成立，
等价于x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立
代入x=1
得：1≤f(1)≤1 所以f(1)=1
f(-1)=0得 a-b+c=0 f(1)=1 得：a+b+c=1
求得 b=1/2 a+c=1/2
f(x)可以表示为 f(x)=ax^2+1/2x+(1/2-a)
由x≤f(x)
0≤ax^-1/2x +(1/2-a)
求Δ≥0 ，1/4 - 4a(1/2-a)≥0 ,4a^-2a+1/4≥0
(2a-1/2)^≥0
由f(x)≤(x^2+1)/2
(a-1/2)x^+1/2x-a≤0
求Δ≤0, 1/4 +4a(a-1/2)≤0 4a^-2a+1/4≤0
(2a-1/2)^≤0
以上要同时满足 ，只能(2a-1/2)^=0
2a=1/2
a=1/4 所以c=1/4
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4

这样很清楚了吧