Question

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a ．当x 属于(0,x1)时，求证

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a ．当x 属于(0,x1)时，求证x<f（x）<x1

Answer 1

令g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
x∈(x1,x2)
g(x)<0
即f(x)<x<x2
x1-f(x)=x1-[x+g(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
因为0<x1<x<x2<1/a
所以x1-x<0 1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
x1-f(x)<0
x1<f(x)
综上x1<f(x)<x2

追问

麻烦请看清楚题目、根本不一样

追答

构造函数g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
00 (x-x1)(x-x2)>0
g(x)>0
要证明f(x)<x1 即证 f(x)-x+x-x1<0
即a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)<0
(x-x1)(ax-ax2+1)<0
因为0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
所以(x-x1)(ax-ax2+1)<0成立
x<f(x)<x1