Question

2014-03-15 已知函数f（x）=ax²+x-xlnx （1）若a=0,求函数f（x）单调区间

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx （1）若a=0,求函数f（x）单调区间 （2）若f（1）=2,且在定义域f（x）≧bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x-xlnx，
由f（x）≥bx2+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1−1/x −(lnx）/x 恒成立
令g(x)＝1−1/x−(lnx）/x可得g′(x)＝(lnx)/x2
，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范围是（-∞，0]