Question

已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1?a2=2，a3?a4=32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn

已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1?a2=2，a3?a4=32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项为Sn=n2（n∈N*），求数列{an?bn}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁?a₂=2，a₃?a₄=32，
∴

a12q＝2 a12q5＝32

，
由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴an＝2n?1．
（Ⅱ）由Sn＝n2，得S_n-1=（n-1）²，
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴当n=1时，b₁=1符合上式，
∴b_n=2n-1，n∈N^*．
∴a_n?b_n=（2n-1）?2^n-1，
T_n=1+3?2+5?2²+…+（2n-1）?2^n-1，
2T_n=1?2+3?2²+5?2³+…+（2n-3）?2^n-1+（2n-1）?2ⁿ，
两式相减，得-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）?2ⁿ
=-（2n-3）?2ⁿ-3，
∴Tn＝(2n?3)?2n+3．