Question

求函数f=tan^x+2atanx+5在x∈【π/4，π/2】时的值域

Answer 1

2tanx/(1-tan^2x)+2tanx+5
=tanx[1/(1+tanx)]+[1/(1-tanx)]+2tanx+5
=tanx/(1+tanx)+tanx/(1-tanx)+2tanx+5
1<=tanx<=+无穷
所以tanx=1没有意义
tanx-->1+函数为-无穷
tanx--->+无穷
函数为+无穷
并且函数tanx不等于0
即函数不等于5
所以值域为(-无穷，5)并(5，+无穷）

Answer 2

解：∵x∈[
π4，
π2)，∴tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t2+2at+5，对称轴为 t=-a，

当a≥-1时，-a≤1，t=1时，函数 h（t）有最小值为6+2a，原函数值域为[6+2a，+∞）．
当a＜-1时，-a＞1，t=-a 时，函数 h（t）有最小值为 5-a2，原函数值域为[5-a2，+∞）．点评：本题主要考查正切函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．