Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3]则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是多少

Answer 1

函数F(x)=f(x)+1/f(x)≥2√(f(x)×1/f(x))=2
当f(x)=1/f(x)时，即为f(x)=1时F(X)取得最小值2，也就是F(x)=f(x)+1/f(x)=1+1=2
∵函数F(x)在区间[1/2,1)单调递减，在区间(1,3]单调递增
而F(1/2)=5/2;F(3)=7/2
∴最大值为10/3
则F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是[2,10/3]

Answer 2

解：
函数F(x)=f(x)+1/f(x)>=2(根号(f(x)+1/f(x))
当f(x)=1/f(x)时，此时f(x)=1
F(X)取得最小值，也就是F(x)=f(x)+1/f(x)=1+1=2
因为函数F(x)在区间[1/2,1)单调递减
在区间(1,3]单调递增
而F(1/2)=5/2;F(3)=7/2，所以最大值为,10/3
则F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是[2,10/3]

Answer 3

令f(x)=t,则f(x)+1/f(x)=t+1/t 1/2<=t<=3
设g(t)=t+1/t
则g(t)=t+1/t>=2(t*1/t)^1/2=2 当且仅当t=1/t时存在即t=1
3>=t>1,g(t)递增
1/2<=t<1,g(t)递减
g(3)=10/3
g(1/2)=2.5
故g(t)在t=3时取最大值
g(t)的值域是[2,10/3]
所以F(x)）=f（x）+1/f（x）的值域是[2,10/3]

Answer 4

f(x)的值域为F（x）的定义域
对于F(x)求导得F`(x)=1-1/(f(x)^2),
当f(x)∈(0,1)时，F`(x)<0;f(x)>1,F`(x)>0,故在f(x)属于[1/2,3],F(x)先减后增，
最小值为F[1]=2,最大值为F[3]=10/3 ,值域为[2,10/3]