Question

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=2时，则AP=______，此时点P的坐标是______．（2）当t=3时，求过点P的直线l：y=-x+b的解析式？（3）当直线l：y=-x+b从经过点M到点N时，求此时点P向上移动多少秒？（4）点Q在x轴时，若S△ONQ=8时，请直按写出点Q的坐标是______．

Answer 1

（1）当t=2时，AP=1×2=2，
∵OP=OA+AP=3，
∴点P的坐标是（0，3）；

（2）∵当t=2时，AP=1×3=3，
∴OP=OA+AP=1+3=4，
∴点P的坐标是（0，4）．
把（0，4）代入y=-x+b，得b=4，
∴y=-x+4；

（3）当直线y=-x+b过M（3，2）时，2=-3+b，解得b=5，5=1+t₁，解得t₁=4，
当直线y=-x+b过N（4，4）时，4=-4+b，解得b=8，8=1+t₂，解得t₂=7，
t₂-t₁=7-4=3秒；

（4）设点Q的坐标为（x，0），
∵S_△ONQ=8，
∴

1

2

|x|?4=8，
解得x=±4，
∴点Q的坐标是（4，0）或（-4，0）．
故答案为3，（0，3）；（4，0）或（-4，0）．

Answer 2

（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0,b）,
由题意,得b＞0,t≥0,b=1+t．
当t=3时,b=4,
故y=-x+4．
（2）当直线y=-x+b过点M（3,2）时,
2=-3+b,
解得：b=5,
5=1+t,
解得t=4．
当直线y=-x+b过点N（4,4）时,
4=-4+b,
解得：b=8,
8=1+t,
解得t=7．
故若点M,N位于l的异侧,t的取值范围是：4＜t＜7．
（3）如右图,过点M作MF⊥直线l,交y轴于点F,交x轴于点E,则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．
过点M作MD⊥x轴于点D,则OD=3,MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°,则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形,
∴DE=MD=2,OE=OF=1,
∴E（1,0）,F（0,-1）．
∵M（3,2）,F（0,-1）,
∴线段MF中点坐标为（
3
2
,
1
2
）．
直线y=-x+b过点（
3
2
,
1
2
）,则
1
2
=-
3
2
+b,解得：b=2,
2=1+t,
解得t=1．
∵M（3,2）,E（1,0）,
∴线段ME中点坐标为（2,1）．
直线y=-x+b过点（2,1）,则1=-2+b,解得：b=3,
3=1+t,
解得t=2．
故点M关于l的对称点,当t=1时,落在y轴上,当t=2时,落在x轴上．