Question

如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连结EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.（1）

如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连结EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.（1）求证：EC是⊙O的切线.（2）过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连结OC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线. （2）设⊙O的半径为r，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5，则OE=5-r，OC=r，咋证明△EOC∽△EAD，利用相似比得到  ，即 ，然后解方程即可得到圆的半径． （1）如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠2＝90°. ∵OC＝OA，∴∠1＝∠A. 又∵∠A＝∠BCE，∴∠BCE＝∠1. ∴∠BCE＋∠2＝90°，即OC⊥EC. 又EC过半径OC的外端，∴EC是⊙O的切线. （2）由（1）可知OC⊥EC， 又AD⊥EC，∴OC∥AD. ∴△EOC∽△EAD. ∴ . 设⊙O的半径为r, 在Rt△ADE中AD＝3，ED＝4，则AE＝5, ∴OE＝5－r；OC＝r. ∴ . ∴ , 即⊙O的半径为 .