Question

平面几何

已知I，O，G分别为△ABC的内心，外心，重心，M为边AC的中点，E为∠CBA的平分线与AC的交点，若GI∥AC，求证OMEI四点共圆

Answer 1

证明：设BC中点为D，连结AI,DI,OB,OD,OI,OM,BM,OC，并记AB=c，BC=a，AC=b，BE=x
由于I,O,G分别为△ABC的内心,外心,重心
∴I在BE上且BE平分∠ABC，AI平分∠BAC，G在BM上且BG/GM=2
∵GI∥AC
∴BI/IE=BG/GM=2，即BI=(2/3)x
∴AB/AE=BI/IE=2
同理BC/CE=2
∴(AB+BC)/(AE+CE)=(AB+BC)/AC=2，即a+c=2b
记∠ABE=∠CBE=α
∴cos∠ABC=cos2α=(a²+c²-b²)/(2ac)=2cos²α-1
∴2cos²α=(a²+c²-b²)/(2ac)+1=((a+c)²-b²)/(2ac)=3b²/(2ac)
由张角定理知sinα/c+sinα/a=sin2α/x=2sinαcosα/x，即x=2accosα/(a+c)
∴x²=4a²c²cos²α/(a+c)²=2a²c²·3b²/(2ac·4b²)=(3/4)ac
∴(a/2)/((2/3)x)=x/c，即BD/BI=BE/BA
又∠ABE=∠CBE
∴△BDI∽△BEA
∴∠BID=∠BAC
而∠BOD=∠BOC/2=2∠BAC/2=∠BAC=∠BID
∴B,D,O,I四点共圆
又∠BDO=90°
∴∠BIO=90°=∠OME
∴O,M,E,I四点共圆