Question

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB 于点F，FB恰为⊙O的直径。（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC= 时，求⊙O的半径。

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Answer 1

证明：（1）连结OM则OM=OB， ∴∠1=∠2， ∵BM平分∠ABC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OM∥BC， ∴∠AMO=∠AEB， 在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠AMO= 90°， ∴OM⊥AE， ∴AE与⊙O相切；
解：（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， ∴BE= BC，∠ABC=∠C， ∵BC=4，cosC= ， ∴BE=2，cos∠ABC= 在△ABE中，∠AEB=90°， ∴AB= 设⊙O的半径为r，则AO=6-r ∵OM∥BC， ∴△AOM∽△ABE， ∴ ∴ ， 解得r= ， ∴⊙O的半径为 。