Question

已知1/a+1/b+1/c=1/a+b+c.求证a,b,c3个数中必有两个数字和为零

Answer 1

根据问题；我们考察（a+b）（b+c）（c+a）
因为：1/a+1/b+1/c=1/（a+b+c）
所以abc=（ab+bc+ac）（a+b+c）
展开（a+b）（b+c）（c+a）=（ab+bc+ac）（a+b+c）-abc=0
所以a,b,c3个数中必有两个数字和为零

Answer 2

证明：
原式为：
(a+b+c)(ab+bc+ac)=abc
所以：
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc = 0
令y=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc,
易知y为含有a,b,c的轮换对称三项式，所以三项式的基本项（a+b）必定是其其中一个因式，根据轮换对称性，（b+c）（a+c）也是y的因式，则
设y = k(a+b)(b+c)(a+c)，
因为原式是三次多项式，所以，k为常数；
对比可得：k = 1
所以：
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc = (a+b)(b+c)(a+c) = 0
即：在a,b,c中必有两数之和为零