Question

已知数列an中，a1=1，且点P(an,an+1),在直线X-Y+1=0上，

设b(n)=1/a(n),Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=[（Sn）-1]*g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。
解：bn=1/an=1/n；
sn=1+1/2+1/3+…+1/n，
S1+S2+S3+…+Sn-1=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/3）+…+（1+1/2+1/3+…+1/（n-1)）
=（n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+…+1/（n-1)
=(n/1-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+…+(n/(n-1)-1)
=n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)
？？？=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]
=n[(sn)-1]=g(n)；
所以，g（n）=n，解析式存在
我不懂的是后面为什么是+n-1,不应该是+n+1吗？但这样的话，约分就约不掉了

Answer 1

n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)将n（1/1）提出来
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)]+n-(n-1)
= n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)]+n/n+n-1-(n-1)将n/n放进去
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)

追问

啊，脑子糊涂了，看错了。谢谢！

Answer 2

设b(n)=1/a(n),Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=[（Sn）-1]*g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。
解：bn=1/an=1/n；
sn=1+1/2+1/3+…+1/n，
S1+S2+S3+…+Sn-1=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/3）+…+（1+1/2+1/3+…+1/（n-1)）
=（n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+…+1/（n-1)
=(n/1-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+…+(n/(n-1)-1)
=n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)
？？？=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]
=n[(sn)-1]=g(n)；