Question

请证明等式：

如图

Answer 1

和证明双积分的可分拆性相似
当以i为底作和时，任何j为底的量都看作常量
j i

建议先自己做，不懂再来问。数学就是要自己动笔动脑，说自己不聪明什么的都是借口，心理作用在作祟，我原来是文科生一样能学好。

我就把比较恶心的第一题帮你做了，剩下两题太容易了建议你还是自己写吧
等式右面
=∑(aibj-ajbi)∑(aibj-ajbi)
=∑aibj∑(aibj-ajbi)-∑ajbi∑(aibj-ajbi)
=(∑aibj)²-∑aibj∑ajbi-∑ajbi∑aibj+(∑ajbi)²
=(∑aibj)²-2∑ajbi∑aibj+(∑ajbi)²

从这里起，左和为i底，右和为j底
=∑aibj∑aibj-2∑ajbi∑aibj+∑ajbi∑ajbi

=∑(i=1~n)ai²∑(j=i~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=i~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=i~n)aj²
因为i,j都是随机的，所以

∑(i=1~n)ai²∑(j=i+1~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=i+1~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=i+1~n)aj²
=∑(i=1~n)ai²∑(j=1~i)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=1~i)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=1~i)aj²

然后
∑(i=1~n)ai²∑(j=1~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=1~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=1~n)aj²
=∑(i=1~n)ai²∑(j=i+1~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=i+1~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=i+1~n)aj²
+ ∑(i=1~n)ai²∑(j=1~i)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=1~i)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=1~i)aj²
=2{∑(i=1~n)ai²∑(j=i~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=i~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=i~n)aj²}

因为左面拆开=∑(i=1~n)ai²∑(j=1~n)bj²-2∑(i=1~n)aibi∑(j=1~n)ajbj+∑(i=1~n)bi²∑(j=1~n)aj²
所以 左面=2右面

Answer 2

证明什么呢