Question

高中不等式问题，高手进！！！

a、b、c>0.
求证：abc(a+b+c+√a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)≤1/3+√3/9
在线等啊~~好的话会追加分的。。。

Answer 1

给你两个公式：若a、b、c都为正
（1）a+b+c≦√[3(a²+b²+c²)]
（2）a+b+c≧3³√abc
关于他们的证明很简单，（1）只要平方相减就能得到(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≧0, 对于（2） a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

进入正题
证明：∵a、b、c>0
∴由公式（1），得a+b+c≦√[3(a²+b²+c²)] （Ⅰ）
由公式（2），得√(a²+b²+c²)≧√3 ³√abc
ab+bc+ca≧3³√a²b²c²
∴(ab+bc+ca)√(a²+b²+c²)≧3√3 abc，
即abc≦(ab+bc+ca)√(a²+b²+c²) /3√3 （Ⅱ）
∴由（Ⅰ）（Ⅱ），得abc[a+b+c+√(a²+b²+c²)]≦(ab+bc+ca)√(a²+b²+c²) /3√3 *[(1+√3)√(a²+b²+c²)=(1/3+√3/9)(ab+bc+ca)(a²+b²+c²)
∴abc[a+b+c+√(a²+b²+c²)]/(ab+bc+ca)(a²+b²+c²)≦1/3+√3/9

注释：很明显等号成立的条件是a=b=c，所以证明时所用的不等式公式等号成立的条件都应该是a=b=c；至于为什么想到用公式（1）和（2），主要是根据逆推法和自己对这个式子形式的把握。

注释：很明显等号成立的条件是a=b=c，所以证明时所用的不等式公式等号成立的条件都应该是a=b=c；至于为什么想到用公式（1）和（2），主要是根据逆推法和自己对这个式子形式的把握。

Answer 2

我这么做可能论据不是很充分
abc(a+b+c+√a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)
=(a+b+c+√a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2) *1/(1/a+1/b+1/c)
1/a+1/b+1/c>=3根号三次方[(1/a*1/b*1/c)]
当且仅当 a=b=c时等号成立
即1/(1/a+1/b+1/c)<=1/3根号三次方[(1/a*1/b*1/c)]
上式<=(a+b+c+√a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2) *1/3根号三次方[(1/a*1/b*1/c)]
a^2+b^2+c^-(a+b+c)>=3/4
（a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2>=0
当且仅当 a=b=c=1/2时成立
上式<=(a^2+b^2+c^2-3/4+根号(a^2+b^2+c^2))/(a^2+b^2+c^2)*1/3根号三次方[(1/a*1/b*1/c)]
分别代入a=1/2,b=1/2,c=1/2
很容易得到 1/3+根号3/9
总感觉证明有瑕疵。。期待高手！

Answer 3

为了这100分，我豁出去了。。。
要使得原式取到最大值，要求分子最大，分母最小。
分子中：
（1＋1＋1）（a^2+b^2+c^2)
<=(a+b+c)^2
所以（a^2+b^2+c^2)^(1/2)
<=(a+b+c)/sqr(3)
分子最大值：
(sqr(3)+3)(a+b+c)abc/3
分母中：
a^2+b^2+c^2>=(abc)^(2/3)
ab+bc+ac>=(abc)^(2/3)
分母最小值为：
（abc)^(4/3)
分子／分母，得到：
(sqr(3)+3)/27*(a+b+c)/(abc)^(1/3)
只要求得（a+b+c)/(abc)^(1/3)的最大值即可，易知：
(a+b+c)>=3(abc)^(1/3)
原式的最大值＝sqr(3)/9+1/3
望采纳！