Question

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b+1(a≠0),若存在x0∈R

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b+1(a≠0),若存在x0∈R使f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点。
对任意实数b，函数f（x）能否恒有两个不动点？，求实数a的取值范围

Answer 1

-1<a<0，能恒有两个不同的动点。分析与解如下：

f(x)=ax² + (b+1)x + b +1
若对于任意的实数b，f(x0)=x0恒有两个不动点，
则，ax0² + (b+1)x0 + b +1=x0这个一元二次方程，恒有两不等的实根，
化简即为，ax² + bx + b +1=0，有两不等到的实根，
⊿ = b² -4a(b+1)>0，恒成立（b∈R）
若设f(b)=b² -4a(b+1)=b² -4ab-4a>0，⊿>0对于b∈R恒成立，
即f(b)在其定义域R上大于0恒成立，即对于函数f(b)，其⊿<0，
即，(-4a)² -4*1*(-4a)<0，即：a(a+1)<0，解此不等式可得，-1<a<0

Answer 2

令f(x)=ax^2+(b+1)x+b+1=x,得ax^2+bx+b+1=0，依题意判别式⊿1=b²-4a(b+1)＞0恒成立，即b²－4ab－4a＞0对对任意实数b恒成立，则判别式⊿2=16a²+16a＜0,∴－1＜a＜0

Answer 3

能。
转化过程就是ax^2+(b+1)x+b+1=x是否恒有两个解。
b^2-4a(b+1)=b^2-4ab-4a=b^2-4ab+4a^2-4a-4a^2=(b-2a)^2-4a^2-4a>0
因为 (b-2a)^2恒大于等于0 所以-4a^2-4a>0 解得，-1<a<0

Answer 4

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