Question

已知函数f(x)的定义域为R,且f(a+b)=f(a)·f(b),当x>0时,f(x)>1,(1)求f(0) （2）证明f(x)是增函数

Answer 1

你好：

（1）由于f(a+b)=f(a)×f(b)，则f(0+X)=f(0)×f(X)
当X>0时，有f(x)>1，所以f(0)=1
（2）f(a+b)=f(a)×f(b)则，f(2x)=f(x)×f(x)，则对任意x，f（x）>0
又有f(x-x)=f(x)×f(-x)=1,当x>0时，f(x)>1，则f（-x）<1
设在R内有x1，x2,且x2>x1
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)/2+(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2+(x1+x2)/2]
=f[(x2-x1)/2]×f[(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2]×f[(x1+x2)/2]
=f[(x2+x1)/2]{f[(x2-x1)/2]-f[(x1-x2)/2]}
由于(x2-x1)/2>0，(x1-x2)/2<0则
f[(x2-x1)/2]>1，f[(x1-x2)/2]<1
所以f(x2)-f(x1)>0，则函数f(x)为增函数