Question

已知定义在R上的函数f(x)=asinwx+bcoswx(w>0)的周期为π.且对一切x属于R，都有f（x）小于等于f(π/12)=4；

1）求函数f(x)的表达式；（2）若g(x)=f(π/6-x)，求函数g(x)的单调增区间。

Answer 1

解：第一问
f(x)=asinwx+bcoswx
=根号（a*a+b*b）*sin（wx+α）
其中α=arccos（a/（根号（a*a+b*b）））
因为最小正周期为π
所以w=2
根据题意：
根号（a*a+b*b）=4 (1)
2*(π/12)+α=π/2
α=π/3
即a/（根号（a*a+b*b））=1/2 (2)
综合（1）、（2）得
a=2，b=2*根号3
f(x)=2sin2x+2*(根号3)*cos2x

第二问：
f(x)=2sin2x+2*(根号3)*cos2x
=4sin（2x+π/3
g(x)=f(π/6-x)
=4sin（π/3-2x+π/3）
=-4sin（2x）
当2x∈（2kπ-π/2，2kπ+π/2），即
x∈（kπ-π/4，kπ+π/4），减函数
当2x∈（2kπ+π/2，2kπ+3π/2），即
x∈（kπ+π/4，kπ+3π/4），增函数