Question

AB是过椭圆x^2\5+y^2\4=1的一个焦点F的弦。若AB的倾斜角为π\3.求弦AB的长。

Answer 1

AB是过椭圆x²/5+y²/4=1的一个焦点F的弦。若AB的倾斜角为π/3.求弦AB的长
解：a=√5，b=2，c=1，左焦点F₁(-1，0)；右焦点F₂(1，0)；
设AB过右焦点，其斜率k=tan(π/3)=√3；故AB所在直线的方程为y=(√3)(x-1)，代入椭圆方程得：
x²/5+3(x-1)²/4=1
去分母，展开化简得：19x²-30x-5=0
设A(x₁，y₁)；B(X₂,y₂)；依韦达定理有：
x₁+x₂=30/19；x₁x₂=-5/19；
y₁+y₂=(√3)(x₁-1)+(√3)(x₂-1)=(√3)(x₁+x₂)-2√3=30(√3)/19-2√3=-8(√3)/19；
y₁y₂=[(√3)(x₁-1)][(√3)(x₂-1)]=3(x₁-1)(x₂-1)=3[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]
=3[-5/19-30/19+1]=-48/19
故︱AB︱=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂]
=√[(900/361)+(192/361)-4(-5/19-48/19)]=√[(1092/361)+212/19]=(√5120)/19=32(√5)/19.

Answer 2

根据这个弦长公式算会比较简单：AB=√(k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]
（记住便于考试O(∩_∩)O~）
首先可解得c=1
用左右焦点算都一样，下面用右焦点
AB所在直线的方程为y=(√3)(x-1)，代入椭圆方程得
x²/5+3(x-1)²/4=1化简得19x²-30x-5=0
用维达定理得x₁+x₂=30/19
x₁x₂=-5/19
代入弦长公式得（k=tanπ／3=√3）
AB=32√5/19.

OK

Answer 3

满久没接触公式忘了 不过书上应该有定律和公式、例题你可以参考一下 这些你只要上课听好、有空买些练习题做一下 这类证明题一定要学好