三角形ABC其边a,b,c的倒数成等差数列求证∠B＜90°
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三角形ABC其边a,b,c的倒数成等差数列求证∠B＜90°
证明：方法一：已知
1
a
+
1
c
＝
2
b
．
得b＝
2ac
a+c
，
a2+c2−b2＝a2+c2−(
2ac
a+c
)2≥2ac−
4a2c2
(a+c)2
=2ac(1−
2ac
(a+c)2
)≥2ac(1−
2ac
4ac
)＞0．
即cosB=
a2+c2−b2
2ac
＞0
故B＜
π
2
法2：反证法：假设B≥
π
2
．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则
1
b
＜
1
a
，
1
b
＜
1
c
可得
2
b
＜
1
a
+
1
c
与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
证明：方法一：已知
1
a
+
1
c
＝
2
b
．
得b＝
2ac
a+c
，
a2+c2−b2＝a2+c2−(
2ac
a+c
)2≥2ac−
4a2c2
(a+c)2
=2ac(1−
2ac
(a+c)2
)≥2ac(1−
2ac
4ac
)＞0．
即cosB=
a2+c2−b2
2ac
＞0
故B＜
π
2
法2：反证法：假设B≥
π
2
．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则
1
b
＜
1
a
，
1
b
＜
1
c
可得
2
b
＜
1
a
+
1
c
与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
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