Question

如图,等腰三角形abc的顶角 角a36度,圆o和底边bc相切于bc的中点d,并与两腰相交于e,f，g，h四点，

其中点g，f分别是两腰ab，ac的中点，求证：五边形defgh是正五边形

Answer 1

证明：连接DF、DG∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵G、F分别为AB、AC中点∴GF∥BC且GF=BD=CD∵GF∥BC∴∠AGF=∠ABC=∠AFG=72°∵AG=BG，∠AGF=∠ABC，GF=BD∴△AGF≌△GBD∴BG=AG=AF=DG，同理可证AF=CF=DF=GD∴∠BGD=∠A=36°根据弦切角定理，∠BDH=∠BGD=36°，∴∠BHD=180°-∠ABC-∠BDH=180°-72°-36°=72°∴BD=HD同理可证，DE=DC∵DG=DF∴∠DGF=∠DFG=72°∴∠GDF=36°∵GF∥=BC∴四边形GFCD为平行四边形∴∠GDC=∠GFC=108°∴∠EDF=∠GDC-∠GDF-∠CDE=108°-36°-36°=36°=∠DFE∴DE=EF∴DE=EF=GF=GH=HD=BD=DC且∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=∠HDE=108°∴五边形EFGHD为正五边形。

Answer 2

连结DF、DG
∵G、F、D分别是AB、AC、BC中点
∴AG∥FD，GD∥AF
∴四边形AGDF是平行四边形
∵AG=AF
∴平行四边形AGDF是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形

Answer 3

根据abc是等腰三角形，dgf分别是三边中点，
圆心O处在中线AD上，则弧HD＝弧DE
角GDF＝角GHF＝角GEF＝角BAC＝36度
角HGF=角GFE=108度
根据弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
则弧GF＝弧GH＝弧FE=2*角GDF=72度
再得弧HD＝弧DE＝72度
因为圆上5点切割出的5段弧度相等，所以是正五边形

追问

角GDF＝角GHF＝角GEF＝角BAC＝36度
为什么啊

Answer 4

这是初三课本的课后习题的最后一道，你自己看看参考书。我记得老师讲的时候，涉及到了弦切角。。