Question

高等数学导数问题

例22
α＞1和α＞β+1这两步是怎么得出来的？

Answer 1

因为导数的极限式子里
有幂函数x^(a-1)，和x^(a-β-1)
而sin1/x^β和cos1/x^β
在x趋于0时，显然极限值不存在
那么如果整个式子极限值存在
就要x^(a-1)和x^(a-β-1)趋于0
所以其次方数要大于0
得到a>1和a>β+1

Answer 2

以下3者成立：
①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。
②可导必定连续。
③连续不一定可导。
所以，
左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。
仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。

Answer 3

如果α-1<0，x→0的时候，x^(α-1)就是无穷大，极限就不存在了；α=1,x→0的时候，1/(x^β)是无穷大，sin(1/(x^β))的极限也不存在，所以只能α＞1。下面的α-β-1>0也是一个道理

Answer 4

要证明导函数在x=0处力连续，按照函数连续的定义，首先要函数f(x)在x=0处的导数存在，即左导数等于右导数，如果α-1<0，x0的时候，x^(α-1)就是无穷大，极限就不存在了；α=1,x0的时候，1/(x^β)是无穷大，sin(1/(x^β))的极限也不存在，所以只能α＞1。下面的α-β-1>0也是这样。