Question

在四边形ABCD中,角ABC=角ADC=60度,对角线AC垂直AD,AD=2,求BD的最大值。

Answer 1

如图所示，作△ABC的外接圆O，连接CO并延长至圆上于点F，连接AF。

因为圆O为△ABC的外接圆，所以点B恒在优弧AC上，

显然，当BD经过圆心O时取得最大值，

因为AC⊥AD，CF经过圆心O，即CF为圆O直径，有AC⊥AF，

所以点D、A、F在同一直线上，且可知点F为DF中点，AD=AF=2，

又因为∠ADC=∠ABC=∠AFC=60°，所以△CDF为等边三角形，

有CF=DF=4，BO=CO=FO=2，DO=2√3，

所以BD=BO+DO=2+2√3，即BD的最大值为2+2√3。