Question

定义在R上的函数f(X)满足任意 x,y属于R恒有f（xy)=f(X)+f(y),且f(X)不恒为0,求f(1)和f(-1)的值；

判断f(X)的奇偶性；若 x>=0时f(X)为增函数，求满足不等式f(X+1)-f(2-x)<=0的x的取值集合

Answer 1

令x=y=1 代入得到 f(1)=2f(1) 则f(1)=0
再令x==y=-1 代入得到 f(1)=2f(-1) 则f(-1)=0
令 y=-1 则 f(-x)=f(x)那么函数就是偶函数了
又可得到f（0）=0，通过计算得到x的取值集合为0<=x<=3 0.5

追问

是 <=30.5而不是0.5？？？

追答

0.5

Answer 2

令x=y=1 代入得到 f(1)=2f(1) 则f(1)=0
再令x==y=-1 代入得到 f(1)=2f(-1) 则f(-1)=0
令 y=-1 则 f(-x)=f(x)那么函数就是偶函数了
f(x+1)<=f(2-x) 因为函数是偶函数而且在x>=0时为增函数 那么函数关于y轴对称
则 只要 /x+1/<=/2-x/就可以了
两边平方再解方程得到 x<=0.5

Answer 3

令x=1，y=1，得到f（1）=0
令x=1，y=-1,得到f（-1）=0
令y=-1，得到f（x）为偶函数
又可得到f（0）=0，通过计算得到x的取值集合为0<=x<=3/2