Question

如果函数f(x)在R上为奇函数，在(-1,0)上是增函数，且f(x+2)=-f(x)，试比较f(1/3)，f(2/3)，f(1)的大小关系

Answer 1

这道题目的关键在于1和-1，它不在（-1，0）（0，+1），函数在1和-1的定义可以任意的，因此把1，1/3，2/3化
在这两个单调区间内比较很有难度

Answer 2

因为函数f(x)是R上的奇函数,故函数图像关于原点对称.因此函数在(-1,0)是增函数,故在(0,1)上也是增函数根据增函数性质,得到:f(1/3)<f(2/3)<f(1)

Answer 3

因为奇函数有f(x)=-f(x)所以有f(1)=-f(-1)
f(1/3)=-f(-1/3)
f(2/3)=-f(-2/3)且函数在
(-1,0)是增函数有f(-1)<f(-2/3)f<(-1/3)则有f(1)>f(2/3)>f(1/3)

Answer 4

请注意,给出的单调递增区间是开区间(-1,0)
函数是R上的奇函数,那么f(0)=-f(-0)=-f(0),求出f(0)=0
可以证明函数在(0,1)上也是增函数:
x1、x2∈(0,1)设x1<x2
那么-x1、-x2∈(-1,0)且-x1>-x2
函数在(-1,0)上单调递增,那么f(-x1)>f(-x2)
函数是奇函数,得:-f(x1)>-f(x2)
即f(x1)<f(x2)
由单调函数的定义,可知函数在(0,1)上单调递增
1/3<2/3
1/3、2/3∈(0,1)
所以f(1/3)<f(2/3)
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好象可以定义f(1)是任意实数，想想怎么来写
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