Question

设函数f(x)=-1/3x^3+2ax^2-3a^2x+b,0<a<1 (1)求f(x)的单调区间、极值

Answer 1

答：(1).f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a),其中(03a.当(03a；当[1/2=4/5与(00,所以F(x)最大值为F(a+2)=2(2-2a)<=a，即a>=4/5.所以a范围为[1/2,1)∩[4/5,1)=[4/5,1)所以综上所述a的取值范围为：[4/5,1).
囧...那就修改一下：(2).记|f'(x)|=F(x)。x∈[1-a,a+1]时，①若1-a<=a，则1/2<=a<1。此时a+1<=3a。在[1-a,a]时，F(x)=|f'(x)|=(x-a)(x-3a).F'(x)=2x-4a在[1-a,a]上恒<0所以F(x)此时递减，F(x)最大值为F(1-a)=(1-2a)(1-4a)<=a，解得a范围为[1/2,(7+√17)/16].在(a,1+a]时,F(x)=|f'(x)|=-(x-a)(x-3a).F'(x)=-2x+4a.当F'(x)=0时，x=2a=1-a>a，则1/4=1-a时，1/30，所以此时最大值F(x)=F(1+a)=1-2a<=a，解得a>=1/3>1/4,所以无解。综上所述，符合的情况为[1/4,1/2)∪[1/2,(7+√17)/16]=[1/4,(7+√17)/16]a的取值范围为：[1/4,(7+√17)/16]

Answer 2

求一次导数,得到关于a的多项式,令一阶导数等于零,解出a的值。
求二阶导数,令其为零,求出a的值。
再结合a自身的范围,确定单调区间和极值,注意边界点。