Question

在△ABC中, AB=AC CD⊥AB, BE⊥AC ,垂足分别为D, E ,BE 交CD于F, 求证: AF平分∠BAC.

Answer 1

由题意可知△ABC为等腰三角形，BE、CD分别为腰上高，可知交点F为在△ABC为等腰三角形对称线上，因此AF是平分∠BAC的

证明如下：
⊥BDC=⊥BEC
BC=CB
(∠ABC=∠ACB)
∴RT△BCD≌rRT△BCE
BD=CE
则AD=AE
⊥ADC=⊥BEC
DC=EB
∴RT△ADF≌rRT△AEF
∠DAF=∠EAF
因此AF平分∠BAC

Answer 2

证明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∴∠ECB=90°-∠ABC，∠DBC=90°-∠ACB．
∠ECB=∠DBC（等量代换）．
∴FB=FC（等角对等边），
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．

Answer 3

因为三角形ABC的面积一定，所以1/2AC*BE=1/2AB*CD，因为AB=AC，所以BE=CD，易证三角形ABE全等于三角形ACD，所以AD=AE，又在三角形ADF与三角形AEF中，因为角ADF和角AEF是直角，AF=AF，所以两个直角三角形全等，得证。