Question

某同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论：①函数f...

某同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论： ①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数； ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立， 上述结论中所有正确的结论是（　　）A．②③B．②④C．①③D．①②④

Answer 1

解：①|x|＜1+|x|，故
x
1+|x|
∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=
x
1+|x|
是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）是一个增函数，故若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），
从而有若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=
x
1+|x|
，f2(x)=
x
1+|x|
1+
|x|
1+|x|
=
x
1+2|x|
，
假设n=k时，fk(x)=
x
1+k|x|
成立，则n=k+1时，fk+1(x)=
x
1+k|x|
1+
|x|
1+k|x|
=
x
1+(k+1)|x|
成立，
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．